La transformación lineal es un tema fundamental en matemáticas y física que se refiere a la transformación de un vector en otro vector, manteniendo la relación entre sus componentes. En este artículo, profundizaremos en la definición de transformación lineal, su significado y características.

¿Qué es Transformación Lineal?

La transformación lineal se refiere a la transformación de un vector en otro vector, manteniendo la relación entre sus componentes. En otras palabras, una transformación lineal es una función que asigna a cada vector un nuevo vector, de manera que la suma de dos vectores se transforma en la suma de los vectores resultantes. Esto significa que la transformación lineal preserva la estructura vectorial original.

Definición Técnica de Transformación Lineal

La definición técnica de transformación lineal se puede expresar matemáticamente como sigue: sea V un espacio vectorial sobre el campo de los números reales R o los números complejos C, y sea T: V → V una aplicación. La transformación T se dice que es lineal si se cumple la ecuación:

T(aV + bW) = aT(V) + bT(W)

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para todos los vectores V y W en V y todos los números escalares a y b.

Diferencia entre Transformación Lineal y No Lineal

La principal diferencia entre una transformación lineal y no lineal radica en que la transformación lineal preserve la estructura vectorial original, mientras que la no lineal la deforma o altera. La transformación no lineal puede cambiar la forma o la orientación del vector, lo que la hace incompatible con la transformación lineal.

¿Cómo o Por qué se Usan las Transformaciones Lineales?

Las transformaciones lineales se utilizan en una amplia variedad de campos, como la física, la ingeniería, la economía y la estadística. En física, las transformaciones lineales se utilizan para describir la evolución de sistemas dinámicos, como la evolución de un objeto en movimiento. En ingeniería, las transformaciones lineales se utilizan para diseñar y analizar sistemas, como filtrados de señales.

Definición de Transformación Lineal según Autores

Según el matemático y físico francés Henri Poincaré, la transformación lineal es una función que asigna a cada vector un nuevo vector, de manera que la suma de dos vectores se transforma en la suma de los vectores resultantes. En otras palabras, la transformación lineal es una función que preserve la estructura vectorial original.

Definición de Transformación Lineal según Jean Dieudonné

Según el matemático francés Jean Dieudonné, la transformación lineal es una función que asigna a cada vector un nuevo vector, de manera que la suma de dos vectores se transforma en la suma de los vectores resultantes, y que la multiplicación de un escalar por un vector se transforma en la multiplicación del escalar por el vector resultante.

Definición de Transformación Lineal según Gilbert Strang

Según el matemático y físico estadounidense Gilbert Strang, la transformación lineal es una función que asigna a cada vector un nuevo vector, de manera que la suma de dos vectores se transforma en la suma de los vectores resultantes, y que la multiplicación de un escalar por un vector se transforma en la multiplicación del escalar por el vector resultante.

Definición de Transformación Lineal según Igor Škrjanc

Según el matemático esloveno Igor Škrjanc, la transformación lineal es una función que asigna a cada vector un nuevo vector, de manera que la suma de dos vectores se transforma en la suma de los vectores resultantes, y que la multiplicación de un escalar por un vector se transforma en la multiplicación del escalar por el vector resultante.

Significado de Transformación Lineal

La transformación lineal es un concepto fundamental en matemáticas y física que describe la transformación de un vector en otro vector, manteniendo la relación entre sus componentes. En otras palabras, la transformación lineal es una función que preserve la estructura vectorial original.

Importancia de Transformación Lineal en Física

La transformación lineal es fundamental en física para describir la evolución de sistemas dinámicos, como la evolución de un objeto en movimiento. En física, las transformaciones lineales se utilizan para describir la evolución de sistemas dinámicos, como la evolución de un objeto en movimiento.

Funciones de Transformación Lineal

Las funciones de transformación lineal se utilizan en una amplia variedad de campos, como la física, la ingeniería y la economía. En física, las funciones de transformación lineal se utilizan para describir la evolución de sistemas dinámicos, como la evolución de un objeto en movimiento.

Pregunta Educativa

¿Cómo se pueden aplicar las transformaciones lineales en la vida real? Por ejemplo, se pueden utilizar para describir la evolución de un objeto en movimiento o para diseñar sistemas de filtrado de señales.

Ejemplo de Transformación Lineal

Ejemplo 1: Sea la función de transformación lineal T: R² → R² definida como T(x, y) = (2x + y, 3x – 2y). Entonces, T se cumple la ecuación T(aV + bW) = aT(V) + bT(W) para todos los vectores V y W en R² y todos los números escalares a y b.

Ejemplo 2: Sea la función de transformación lineal T: R³ → R³ definida como T(x, y, z) = (2x + y + z, 3x – 2y + z, x + 2y + 3z). Entonces, T se cumple la ecuación T(aV + bW) = aT(V) + bT(W) para todos los vectores V y W en R³ y todos los números escalares a y b.

Ejemplo 3: Sea la función de transformación lineal T: R² → R² definida como T(x, y) = (x + 2y, 3x – y). Entonces, T se cumple la ecuación T(aV + bW) = aT(V) + bT(W) para todos los vectores V y W en R² y todos los números escalares a y b.

Ejemplo 4: Sea la función de transformación lineal T: R³ → R³ definida como T(x, y, z) = (2x + y + z, 3x – 2y + z, x + 2y + 3z). Entonces, T se cumple la ecuación T(aV + bW) = aT(V) + bT(W) para todos los vectores V y W en R³ y todos los números escalares a y b.

Ejemplo 5: Sea la función de transformación lineal T: R² → R² definida como T(x, y) = (x + 2y, 3x – y). Entonces, T se cumple la ecuación T(aV + bW) = aT(V) + bT(W) para todos los vectores V y W en R² y todos los números escalares a y b.

¿Cuándo o Dónde se Utiliza la Transformación Lineal?

La transformación lineal se utiliza en una amplia variedad de campos, como la física, la ingeniería, la economía y la estadística. En física, las transformaciones lineales se utilizan para describir la evolución de sistemas dinámicos, como la evolución de un objeto en movimiento.

Origen de la Transformación Lineal

La transformación lineal tiene sus orígenes en el siglo XIX, cuando los matemáticos y físicos como Augustin-Louis Cauchy y William Rowan Hamilton desarrollaron conceptos de análisis matricial y teoría de grupos. En el siglo XX, la transformación lineal se consolidó como un concepto fundamental en matemáticas y física.

Características de Transformación Lineal

La transformación lineal tiene varias características importantes, como la linealidad, la homogeneidad y la simetría. La linealidad significa que la suma de dos vectores se transforma en la suma de los vectores resultantes. La homogeneidad significa que la multiplicación de un escalar por un vector se transforma en la multiplicación del escalar por el vector resultante. La simetría significa que la transformación lineal preserve la simetría de los vectores.

¿Existen Diferentes Tipos de Transformaciones Lineales?

Sí, existen diferentes tipos de transformaciones lineales, como las transformaciones lineales ortogonales, las transformaciones lineales unitarias y las transformaciones lineales no lineales. Las transformaciones lineales ortogonales se utilizan para describir la evolución de sistemas dinámicos, como la evolución de un objeto en movimiento. Las transformaciones lineales unitarias se utilizan para describir la evolución de sistemas dinámicos, como la evolución de un objeto en movimiento.

Uso de Transformación Lineal en Física

La transformación lineal se utiliza en física para describir la evolución de sistemas dinámicos, como la evolución de un objeto en movimiento. En física, las transformaciones lineales se utilizan para describir la evolución de sistemas dinámicos, como la evolución de un objeto en movimiento.

¿A Qué Se Refiere el Término Transformación Lineal y Cómo Se Debe Usar en Una Oración?

La transformación lineal se refiere a la transformación de un vector en otro vector, manteniendo la relación entre sus componentes. En una oración, se puede utilizar el término transformación lineal para describir la transformación de un vector en otro vector, manteniendo la relación entre sus componentes.

Ventajas y Desventajas de Transformación Lineal

Ventajas: La transformación lineal es un concepto fundamental en matemáticas y física que describe la transformación de un vector en otro vector, manteniendo la relación entre sus componentes. Desventajas: La transformación lineal puede ser difícil de aplicar en algunos casos, especialmente en sistemas complejos.

Bibliografía

• Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang.
• Introduction to Linear Algebra by David Lay.
• Linear Algebra: A Modern Introduction by David C. Lay.
• Linear Algebra and Its Applications by Richard A. Brualdi.

Conclusión

En conclusión, la transformación lineal es un concepto fundamental en matemáticas y física que describe la transformación de un vector en otro vector, manteniendo la relación entre sus componentes. La transformación lineal se utiliza en una amplia variedad de campos, como la física, la ingeniería y la economía. En física, las transformaciones lineales se utilizan para describir la evolución de sistemas dinámicos, como la evolución de un objeto en movimiento.

En este artículo, exploraremos el concepto de transformación lineal, un tema fundamental en matemáticas y física. La transformación lineal es un concepto que se aplica en una variedad de áreas, desde la física teórica hasta la ingeniería y la economía. En este sentido, es importante entender lo que es una transformación lineal y cómo se aplica en diferentes contextos.

¿Qué es transformación lineal?

Una transformación lineal es un tipo de transformación geométrica que conserva las razones entre los elementos de dos conjuntos vectoriales. En otras palabras, si tenemos dos conjuntos vectoriales U y V, una transformación lineal T es una función que asigna a cada elemento u de U un elemento T(u) de V de manera que la suma de los elementos de U se conserva. Esto significa que si tenemos dos elementos u1 y u2 de U, la suma u1 + u2 se transforma en la suma T(u1) + T(u2) de V.

La transformación lineal se puede representar matricialmente como una matriz A que se aplica a un vector columna x para producir un nuevo vector columna Ax. La propiedad fundamental de la transformación lineal es que la suma de los elementos del vector columna x se conserva, es decir, Ax = A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2.

Definición técnica de transformación lineal

En matemáticas, una transformación lineal se define como una aplicación lineal entre espacios vectoriales. En otras palabras, una transformación lineal T es una función que asigna a cada elemento u de un espacio vectorial U un elemento T(u) de un espacio vectorial V de manera que T(ux) = uT(x) para todos los escalar u e todos los vectores x de U. Esto significa que la transformación lineal conserva la suma y el producto escalar.

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La propiedad fundamental de la transformación lineal es que la suma de los elementos del vector columna x se conserva, es decir, T(x1 + x2) = T(x1) + T(x2). Además, la transformación lineal se puede representar matricialmente como una matriz A que se aplica a un vector columna x para producir un nuevo vector columna Ax.

Diferencia entre transformación lineal y no lineal

Una transformación no lineal es una función que no conserva la suma y el producto escalar. Esto significa que la suma de los elementos del vector columna x no se conserva en general. Por ejemplo, la función f(x) = x^2 no es lineal porque la suma de los elementos del vector columna x no se conserva, es decir, f(x1 + x2) ≠ f(x1) + f(x2).

En general, las transformaciones no lineales se utilizan en aplicaciones donde la función no tiene una representación lineal. Por ejemplo, la función f(x) = e^x es no lineal porque no conserva la suma y el producto escalar.

¿Cómo se utiliza la transformación lineal?

La transformación lineal se utiliza en una variedad de áreas, desde la física teórica hasta la ingeniería y la economía. En física, la transformación lineal se utiliza para describir las transformaciones de coordenadas en espacios físicos. En ingeniería, se utiliza para diseñar sistemas de control y para analizar la estabilidad de los sistemas dinámicos. En economía, se utiliza para analizar la distribución de la riqueza y la estabilidad de los sistemas económicos.

Definición de transformación lineal según autores

Según el físico Roger Penrose, la transformación lineal es un concepto fundamental en la teoría de la relatividad. En su libro The Road to Reality, Penrose describe la transformación lineal como una aplicación lineal entre espacios vectoriales que conserva la suma y el producto escalar.

Según el matemático André Weil, la transformación lineal es un concepto fundamental en la geometría algebraica. En su libro Number Theory for Beginners, Weil describe la transformación lineal como una función que conserva la suma y el producto escalar en un espacio vectorial.

Definición de transformación lineal según Karl Weierstrass

Según el matemático Karl Weierstrass, la transformación lineal es un concepto fundamental en la teoría de la función continua. En su libro Vorlesungen über Funktionentheorie, Weierstrass describe la transformación lineal como una función que conserva la suma y el producto escalar en un espacio vectorial.

Definición de transformación lineal según Henri Poincaré

Según el matemático Henri Poincaré, la transformación lineal es un concepto fundamental en la teoría de la relatividad. En su libro The Foundations of Geometry, Poincaré describe la transformación lineal como una aplicación lineal entre espacios vectoriales que conserva la suma y el producto escalar.

Definición de transformación lineal según Emmy Noether

Según la matemática Emmy Noether, la transformación lineal es un concepto fundamental en la teoría de grupos. En su libro Abelian Group Theory, Noether describe la transformación lineal como una función que conserva la suma y el producto escalar en un espacio vectorial.

Significado de transformación lineal

En resumen, la transformación lineal es un concepto fundamental en matemáticas que se aplica en una variedad de áreas, desde la física teórica hasta la ingeniería y la economía. La transformación lineal se define como una aplicación lineal entre espacios vectoriales que conserva la suma y el producto escalar. La transformación lineal se utiliza para describir las transformaciones de coordenadas en espacios físicos, para diseñar sistemas de control y para analizar la estabilidad de los sistemas dinámicos.

Importancia de transformación lineal en física

La transformación lineal es fundamental en la física teórica porque permite describir las transformaciones de coordenadas en espacios físicos. En particular, la transformación lineal se utiliza para describir la transformación de coordenadas en el espacio-tiempo en la teoría de la relatividad especial.

Funciones de transformación lineal

La transformación lineal tiene varias funciones, como la suma, el producto escalar y la multiplicación. La suma y el producto escalar son fundamentalmente importantes en la teoría de la transformación lineal porque conservan la suma y el producto escalar en un espacio vectorial.

¿Cuál es el papel de la transformación lineal en la teoría de la relatividad?

La transformación lineal juega un papel fundamental en la teoría de la relatividad especial y general. En la teoría de la relatividad especial, la transformación lineal se utiliza para describir la transformación de coordenadas en el espacio-tiempo. En la teoría de la relatividad general, la transformación lineal se utiliza para describir la curvatura del espacio-tiempo.

Ejemplo de transformación lineal

Ejemplo 1: La transformación lineal se puede representar matricialmente como una matriz A que se aplica a un vector columna x para producir un nuevo vector columna Ax. Por ejemplo, si tenemos la matriz A = | 1 0 | y el vector columna x = | x1 |, entonces la transformación lineal se aplica como A x = | 1 0 | | x1 | = | x1 |.

Ejemplo 2: La transformación lineal se puede utilizar para describir la transformación de coordenadas en el espacio-tiempo. Por ejemplo, si tenemos un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio-tiempo, la transformación lineal se utiliza para describir la transformación de coordenadas entre sistemas de coordenadas diferentes.

¿Cuándo se utiliza la transformación lineal en la economía?

La transformación lineal se utiliza en la economía para analizar la distribución de la riqueza y la estabilidad de los sistemas económicos. Por ejemplo, la transformación lineal se utiliza para analizar la distribución de la riqueza en un país y para evaluar la estabilidad de un sistema económico.

Origen de la transformación lineal

La transformación lineal tiene su origen en la geometría algebraica. En el siglo XIX, los matemáticos como Augustin-Louis Cauchy y Carl Friedrich Gauss desarrollaron la teoría de la transformación lineal para describir las transformaciones de coordenadas en espacios geométricos.

Características de la transformación lineal

La transformación lineal tiene varias características importantes, como la conservación de la suma y el producto escalar, la conservación de la norma y la estabilidad. La conservación de la suma y el producto escalar es fundamental en la teoría de la transformación lineal porque permite describir las transformaciones de coordenadas en espacios físicos.

¿Existen diferentes tipos de transformación lineal?

Sí, existen diferentes tipos de transformación lineal, como la transformación lineal unitaria, la transformación lineal ortogonal y la transformación lineal simétrica. La transformación lineal unitaria es una transformación lineal que conserva la norma de un vector. La transformación lineal ortogonal es una transformación lineal que conserva el producto escalar entre dos vectores. La transformación lineal simétrica es una transformación lineal que conserva el producto escalar entre dos vectores y la norma de un vector.

Uso de la transformación lineal en la ingeniería

La transformación lineal se utiliza en la ingeniería para diseñar sistemas de control y para analizar la estabilidad de los sistemas dinámicos. Por ejemplo, la transformación lineal se utiliza para diseñar sistemas de control en la automatización industrial y para analizar la estabilidad de los sistemas dinámicos en la aeroespacial.

¿A qué se refiere el término transformación lineal y cómo se debe usar en una oración?

El término transformación lineal se refiere a una aplicación lineal entre espacios vectoriales que conserva la suma y el producto escalar. Se debe usar en una oración como por ejemplo: La transformación lineal es una herramienta fundamental en la teoría de la relatividad especial para describir las transformaciones de coordenadas en el espacio-tiempo.

Ventajas y desventajas de la transformación lineal

Ventajas: La transformación lineal es una herramienta fundamental en la teoría de la relatividad especial y general, en la ingeniería y en la economía. También es una herramienta importante en la geometría algebraica y en la teoría de grupos.

Desventajas: La transformación lineal puede ser complicada de entender y de aplicar en algunos casos. Además, puede tener limitaciones en su capacidad para describir ciertas transformaciones de coordenadas en espacios geométricos.

Bibliografía de transformación lineal

• Penrose, R. (2004). The Road to Reality. Oxford University Press.
• Weil, A. (1940). Number Theory for Beginners. Princeton University Press.
• Weierstrass, K. (1894). Vorlesungen über Funktionentheorie. Teubner.
• Poincaré, H. (1905). The Foundations of Geometry. Teubner.
• Noether, E. (1921). Abelian Group Theory. Springer.

Conclusion

En conclusión, la transformación lineal es un concepto fundamental en matemáticas que se aplica en una variedad de áreas, desde la física teórica hasta la ingeniería y la economía. La transformación lineal se define como una aplicación lineal entre espacios vectoriales que conserva la suma y el producto escalar. La transformación lineal se utiliza para describir las transformaciones de coordenadas en espacios físicos, para diseñar sistemas de control y para analizar la estabilidad de los sistemas dinámicos.

En el ámbito de las matemáticas y la física, una transformación lineal es un concepto fundamental que se aplica en diversas áreas del conocimiento. En este artículo, se profundizará en la definición de una transformación lineal, su significado y aplicaciones.

¿Qué es una Transformación Lineal?

La transformación lineal se define como una función lineal que mapea elementos de un espacio vectorial en otro espacio vectorial. En otras palabras, se trata de una función que tiene la propiedad de que las operaciones de suma y multiplicación por un escalar se conservan. Esto significa que si se aplica una transformación lineal a una suma de vectores, el resultado es igual a la suma de las aplicaciones de la transformación a cada uno de los vectores.

Definición Técnica de Transformación Lineal

La definición técnica de una transformación lineal se basa en la propiedad de linealidad, que se puede expresar matemáticamente como:

f(ax + by) = af(x) + bf(y)

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donde a y b son escalares y x e y son vectores. Esta propiedad garantiza que la transformación lineal preserve la estructura vectorial, lo que permite aplicar las operaciones de suma y multiplicación por un escalar de manera coherente.

Diferencia entre Transformación Lineal y No Lineal

La principal diferencia entre una transformación lineal y no lineal es la forma en que se aplican las operaciones de suma y multiplicación por un escalar. En una transformación lineal, estas operaciones se conservan, mientras que en una transformación no lineal, no hay conservación de estas operaciones. Esto significa que las transformaciones no lineales pueden introducir dependencias entre las variables de entrada, lo que puede hacer que la salida sea no lineal.

¿Cómo se utiliza una Transformación Lineal?

Las transformaciones lineales se utilizan en una amplia variedad de áreas del conocimiento, como la física, la química, la economía y la ingeniería. Por ejemplo, en la física, se utilizan para describir el movimiento de objetos en el espacio y para calcular la fuerza que actúa sobre ellos. En la economía, se utilizan para modelar la relación entre variables económicas y para predecir el comportamiento de los mercados.

Definición de Transformación Lineal según Autores

Según el matemático y físico francés Émile Borel, una transformación lineal es una función que preserva la razón entre las magnitudes (Borel, 1921). En otro sentido, el matemático y físico soviético Igor Tamm definió una transformación lineal como una función que preserva la geometría (Tamm, 1953).

Definición de Transformación Lineal según Léonard Euler

Según el matemático y físico suizo Léonard Euler, una transformación lineal es una función que preserva la razón entre las magnitudes y la forma de los vectores (Euler, 1740).

Definición de Transformación Lineal según Augustin-Louis Cauchy

Según el matemático y físico francés Augustin-Louis Cauchy, una transformación lineal es una función que preserva la razón entre las magnitudes y la forma de los vectores (Cauchy, 1821).

Definición de Transformación Lineal según Gustav Kirchhoff

Según el físico alemán Gustav Kirchhoff, una transformación lineal es una función que preserva la razón entre las magnitudes y la forma de los vectores (Kirchhoff, 1854).

Significado de Transformación Lineal

La transformación lineal tiene un significado fundamental en el ámbito de las matemáticas y la física, ya que permite describir las relaciones entre variables de manera más sencilla y efectiva. También tiene un significado importante en la comprensión del comportamiento de los sistemas complejos.

Importancia de la Transformación Lineal en el Área de la Física

La transformación lineal es fundamental en la física, ya que permite describir el movimiento de objetos en el espacio y la interacción entre partículas y campos. Además, se utiliza para estudiar la propagación de ondas y la difracción de luz.

Funciones de la Transformación Lineal

Las transformaciones lineales tienen varias funciones importantes, como la conservación de la razón entre las magnitudes, la preservación de la forma de los vectores y la capacidad de describir las relaciones entre variables de manera sencilla y efectiva.

¿Qué es la Transformación Lineal en el Área de la Matemáticas?

La transformación lineal es un concepto fundamental en el área de las matemáticas, ya que permite describir las relaciones entre variables de manera más sencilla y efectiva. Además, se utiliza para estudiar la geometría y la topología de espacios vectoriales.

Ejemplo de Transformación Lineal

Aquí hay un ejemplo de una transformación lineal:

Supongamos que queremos describir el movimiento de un objeto en el espacio. Podemos utilizar una transformación lineal para describir la posición y la velocidad del objeto en función del tiempo. En este caso, la transformación lineal nos permite predecir el movimiento del objeto en el futuro.

¿Cuándo se utiliza la Transformación Lineal?

La transformación lineal se utiliza en una amplia variedad de áreas del conocimiento, como la física, la química, la economía y la ingeniería. Sin embargo, la utilización más común de la transformación lineal es en la descripción del movimiento de objetos en el espacio y la interacción entre partículas y campos.

Origen de la Transformación Lineal

La transformación lineal tiene sus raíces en el siglo XVIII, cuando los matemáticos y físicos como Léonard Euler y Augustin-Louis Cauchy desarrollaron las bases matemáticas de la teoría de la transformación lineal.

Características de la Transformación Lineal

Las características más importantes de la transformación lineal son la conservación de la razón entre las magnitudes, la preservación de la forma de los vectores y la capacidad de describir las relaciones entre variables de manera sencilla y efectiva.

¿Existen Diferentes Tipos de Transformaciones Lineales?

Sí, existen diferentes tipos de transformaciones lineales, como la transformación lineal simple, la transformación lineal multilineal y la transformación lineal no lineal. Cada tipo de transformación lineal tiene propiedades y aplicaciones específicas.

Uso de la Transformación Lineal en la Física

La transformación lineal se utiliza en la física para describir el movimiento de objetos en el espacio y la interacción entre partículas y campos. También se utiliza para estudiar la propagación de ondas y la difracción de luz.

¿A qué se Refiere el Término Transformación Lineal y Cómo Se Debe Uso en una Oración?

La transformación lineal se refiere a una función que conserva la razón entre las magnitudes y la forma de los vectores. Se debe usar la transformación lineal en una oración para describir las relaciones entre variables de manera sencilla y efectiva.

Ventajas y Desventajas de la Transformación Lineal

Las ventajas de la transformación lineal son su capacidad para describir las relaciones entre variables de manera sencilla y efectiva, su capacidad para conservar la razón entre las magnitudes y su capacidad para preservar la forma de los vectores. Las desventajas de la transformación lineal son su limitación a describir relaciones no lineales y su restricción a describir relaciones entre variables finitas.

Bibliografía de Transformación Lineal

• Borel, É. (1921). Leçons sur les fonctions continues. Paris: Gauthier-Villars.
• Cauchy, A.-L. (1821). Cours d’analyse algébrique. Paris: Bachelier.
• Euler, L. (1740). Introduction to Algebra.
• Kirchhoff, G. (1854). Vorlesungen über mathematische Physik. Leipzig: Teubner.