En este artículo hablaremos sobre la regla de los cuatro pasos para calcular las derivadas de una función. Esta técnica es ampliamente utilizada en cálculo y permite encontrar la velocidad de cambio de una función en un punto determinado.
¿Qué es una derivada?
Una derivada es una operación matemática que se aplica a una función para encontrar la velocidad de cambio de la misma en un punto determinado. En otras palabras, la derivada nos dice cómo cambia el valor de la función a medida que cambiamos el valor de la variable independiente.
Ejemplos de la regla de los cuatro pasos para calcular derivadas
1. Función: f(x) = 3x^2 + 2x – 1
Paso 1: Identificar la función primitiva.
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f(x) = 3x^2 + 2x – 1
Paso 2: Multiplicar la variable independiente por la potencia de la función primitiva.
f'(x) = (2)(3)x^(2-1) + (1)(2)x^(1-1)
Paso 3: Sumar o restar las expresiones obtenidas en el paso anterior.
f'(x) = 6x + 2
Paso 4: Simplificar la expresión obtenida en el paso anterior.
f'(x) = 6x + 2
2. Función: f(x) = x^3 – 2x^2 + 3x – 1
Paso 1: Identificar la función primitiva.
f(x) = x^3 – 2x^2 + 3x – 1
Paso 2: Multiplicar la variable independiente por la potencia de la función primitiva.
f'(x) = (3)x^(3-1) – (2)(2)x^(2-1) + (3)x^(1-1)
Paso 3: Sumar o restar las expresiones obtenidas en el paso anterior.
f'(x) = 3x^2 – 4x + 3
Paso 4: Simplificar la expresión obtenida en el paso anterior.
f'(x) = 3x^2 – 4x + 3
3. Función: f(x) = 5x^4 + 4x^3 – 3x^2 + 2x – 1
Paso 1: Identificar la función primitiva.
f(x) = 5x^4 + 4x^3 – 3x^2 + 2x – 1
Paso 2: Multiplicar la variable independiente por la potencia de la función primitiva.
f'(x) = (4)(5)x^(4-1) + (3)x^(3-1) – (2)(3)x^(2-1) + (2)x^(1-1)
Paso 3: Sumar o restar las expresiones obtenidas en el paso anterior.
f'(x) = 20x^3 + 3x^2 – 6x + 2
Paso 4: Simplificar la expresión obtenida en el paso anterior.
f'(x) = 20x^3 + 3x^2 – 6x + 2
4. Función: f(x) = 7x^5 – 6x^4 + 5x^3 – 4x^2 + 3x – 2
Paso 1: Identificar la función primitiva.
f(x) = 7x^5 – 6x^4 + 5x^3 – 4x^2 + 3x – 2
Paso 2: Multiplicar la variable independiente por la potencia de la función primitiva.
f'(x) = (5)(7)x^(5-1) – (4)(6)x^(4-1) + (3)x^(3-1) – (2)x^(2-1)
Paso 3: Sumar o restar las expresiones obtenidas en el paso anterior.
f'(x) = 35x^4 – 24x^3 + 3x^2 – 2x
Paso 4: Simplificar la expresión obtenida en el paso anterior.
f'(x) = 35x^4 – 24x^3 + 3x^2 – 2x
5. Función: f(x) = 8x^6 + 7x^5 – 6x^4 + 5x^3 – 4x^2 + 3x – 2
Paso 1: Identificar la función primitiva.
f(x) = 8x^6 + 7x^5 – 6x^4 + 5x^3 – 4x^2 + 3x – 2
Paso 2: Multiplicar la variable independiente por la potencia de la función primitiva.
f'(x) = (6)(8)x^(6-1) + (5)(7)x^(5-1) – (4)(6)x^(4-1) + (3)x^(3-1) – (2)x^(2-1)
Paso 3: Sumar o restar las expresiones obtenidas en el paso anterior.
f'(x) = 48x^5 + 35x^4 – 24x^3 + 3x^2 – 2x
Paso 4: Simplificar la expresión obtenida en el paso anterior.
f'(x) = 48x^5 + 35x^4 – 24x^3 + 3x^2 – 2x
6. Función: f(x) = 9x^7 + 8x^6 – 7x^5 + 6x^4 – 5x^3 + 4x^2 – 3x + 2
Paso 1: Identificar la función primitiva.
f(x) = 9x^7 + 8x^6 – 7x^5 + 6x^4 – 5x^3 + 4x^2 – 3x + 2
Paso 2: Multiplicar la variable independiente por la potencia de la función primitiva.
f'(x) = (7)(9)x^(7-1) + (6)(8)x^(6-1) – (5)(7)x^(5-1) + (4)x^(4-1) – (3)x^(3-1)
Paso 3: Sumar o restar las expresiones obtenidas en el paso anterior.
f'(x) = 63x^6 + 48x^5 – 35x^4 + 4x^3 – 3x^2
Paso 4: Simplificar la expresión obtenida en el paso anterior.
f'(x) = 63x^6 + 48x^5 – 35x^4 + 4x^3 – 3x^2
7. Función: f(x) = 10x^8 + 9x^7 – 8x^6 + 7x^5 – 6x^4 + 5x^3 – 4x^2 + 3x – 2
Paso 1: Identificar la función primitiva.
f(x) = 10x^8 + 9x^7 – 8x^6 + 7x^5 – 6x^4 + 5x^3 – 4x^2 + 3x – 2
Paso 2: Multiplicar la variable independiente por la potencia de la función primitiva.
f'(x) = (8)(10)x^(8-1) + (7)(9)x^(7-1) – (6)(8)x^(6-1) + (5)x^(5-1) – (4)x^(4-1)
Paso 3: Sumar o restar las expresiones obtenidas en el paso anterior.
f'(x) = 80x^7 + 63x^6 – 48x^5 + 5x^4 – 4x^3
Paso 4: Simplificar la expresión obtenida en el paso anterior.
f'(x) = 80x^7 + 63x^6 – 48x^5 + 5x^4 – 4x^3
8. Función: f(x) = 11x^9 + 10x^8 – 9x^7 + 8x^6 – 7x^5 + 6x^4 – 5x^3 + 4x^2 – 3x + 2
Paso 1: Identificar la función primitiva.
f(x) = 11x^9 + 10x^8 – 9x^7 + 8x^6 – 7x^5 + 6x^4 – 5x^3 + 4x^2 – 3x + 2
Paso 2: Multiplicar la variable independiente por la potencia de la función primitiva.
f'(x) = (9)(11)x^(9-1) + (8)(10)x^(8-1) – (7)(9)x^(7-1) + (6)x^(6-1) – (5)x^(5-1)
Paso 3: Sumar o restar las expresiones obtenidas en el paso anterior.
f'(x) = 99x^8 + 80x^7 – 63x^6 + 6x^5 – 5x^4
Paso 4: Simplificar la expresión obtenida en el paso anterior.
f'(x) = 99x^8 + 80x^7 – 63x^6 + 6x^5 – 5x^4
9. Función: f(x) = 12x^10 + 11x^9 – 10x^8 + 9x^7 – 8x^6 + 7x^5 – 6x^4 + 5x^3 – 4x^2 + 3x – 2
Paso 1: Identificar la función primitiva.
f(x) = 12x^10 + 11x^9 – 10x^8 + 9x^7 – 8x^6 + 7x^5 – 6x^4 + 5x^3 – 4x^2 + 3x – 2
Paso 2: Multiplicar la variable independiente por la potencia de la función primitiva.
f'(x) = (10)(12)x^(10-1) + (9)(11)x^(9-1) – (8)(10)x^(8-1) + (7)x^(7-1) – (6)x^(6-1)
Paso 3: Sumar o restar las expresiones obtenidas en el paso anterior.
f'(x) = 120x^9 + 99x^8 – 80x^7 + 7x^6 – 6x^5
Paso 4: Simplificar la expresión obtenida en el paso anterior.
f'(x) = 120x^9 + 99x^8 – 80x^7 + 7x^6 – 6x^5
10. Función: f(x) = 13x^11 + 12x^10 – 11x^9 + 10x^8 – 9x^7 + 8x^6 – 7x^5 + 6x^4 – 5x^3 + 4x^2 – 3x + 2
Paso 1: Identificar la función primitiva.
f(x) = 13x^11 + 12x^10 – 11x^9 + 10x^8 – 9x^7 + 8x^6 – 7x^5 + 6x^4 – 5x^3 + 4x^2 – 3x + 2
Paso 2: Multiplicar la variable independiente por la potencia de la función primitiva.
f'(x) = (11)(13)x^(11-1) + (10)(12)x^(10-1) – (9)(11)x^(9-1) + (8)x^(8-1) – (7)x^(7-1)
Paso 3: Sumar o restar las expresiones obtenidas en el paso anterior.
f'(x) = 143x^10 + 120x^9 – 99x^8 + 8x^7 – 7x^6
Paso 4: Simplificar la expresión obtenida en el paso anterior.
f'(x) = 143x^10 + 120x^9 – 99x^8 + 8x^7 – 7x^6
Diferencia entre derivada e integral
La derivada y la integral son dos operaciones matemáticas inversas entre sí. Mientras que la derivada nos permite encontrar la velocidad de cambio de una función en un punto determinado, la integral permite encontrar el área bajo la curva de una función en un intervalo determinado.
¿Cómo se aplica la regla de los cuatro pasos para calcular derivadas?
La regla de los cuatro pasos para calcular derivadas se aplica multiplicando la variable independiente por la potencia de la función primitiva, sumando o restando las expresiones obtenidas en el paso anterior, y simplificando la expresión obtenida en el paso anterior.
Concepto de derivada
El concepto de derivada se refiere a la velocidad de cambio de una función en un punto determinado.
Significado de derivada
El significado de derivada se refiere a la pendiente de la recta tangente a la curva de una función en un punto determinado.
Cómo calcular la derivada de una función polinomial
Para calcular la derivada de una función polinomial, se aplica la regla de los cuatro pasos para calcular derivadas.
Para qué sirve la derivada
La derivada sirve para encontrar la velocidad de cambio de una función en un punto determinado.
Lista de funciones derivadas
1. Función: f(x) = x^2
Derivada: f'(x) = 2x
2. Función: f(x) = x^3
Derivada: f'(x) = 3x^2
3. Función: f(x) = x^4
Derivada: f'(x) = 4x^3
4. Función: f(x) = x^5
Derivada: f'(x) = 5x^4
5. Función: f(x) = x^6
Derivada: f'(x) = 6x^5
Ejemplo de derivada
Ejemplo: Encontrar la derivada de la función f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 4x + 5
Solución:
f'(x) = (3)(2)x^(3-1) + (2)(3)x^(2-1) – (1)(4)x^(1-1)
f'(x) = 6x^2 + 6x – 4
Cuándo se utiliza la derivada
Se utiliza la derivada cuando se desea encontrar la velocidad de cambio de una función en un punto determinado.
Cómo se escribe derivada
Se escribe derivada utilizando la notación prima (f'(x)) o la notación de Leibniz (df/dx).
Cómo hacer un ensayo o análisis sobre derivadas
Para hacer un ensayo o análisis sobre derivadas, se debe investigar sobre el tema, organizar la información en párrafos, y presentar conclusiones al final.
Cómo hacer una introducción sobre derivadas
Para hacer una introducción sobre derivadas, se debe presentar el tema, explicar su importancia, y plantear los objetivos del ensayo o análisis.
Origen de derivadas
El origen de derivadas se remonta al siglo XVII, cuando los matemáticos Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron independentemente el cálculo.
Cómo hacer una conclusión sobre derivadas
Para hacer una conclusión sobre derivadas, se deben resumir los puntos más importantes del ensayo o análisis, presentar recomendaciones, y plantear preguntas para futuras investigaciones.
Sinónimo de derivada
Sinónimo de derivada es tasa de variación.
Antónimo de derivada
Antónimo de derivada no existe, ya que no hay ninguna operación matemática que sea opuesta a la derivada.
Traducción al inglés, francés, ruso, alemán y portugués
Inglés: derivative
Francés: dérivée
Ruso: производная
Alemán: Ableitung
Portugués: derivada
Definición de derivada
La derivada es la operación matemática que permite encontrar la velocidad de cambio de una función en un punto determinado.
Uso práctico de derivadas
Las derivadas se utilizan en diversas áreas de la ciencia y la tecnología, como la física, la ingeniería, la economía, y la biología.
Referencia bibliográfica de derivadas
1. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2015.
2. Thomas, George B., and Maurice D. Weir. Calculus: Early Transcendentals. 12th ed. Boston, MA: Addison-Wesley, 2016.
3. Larson, Ron, and Bruce H. Edwards. Calculus. 10th ed. Boston, MA: Cengage Learning, 2016.
4. Spivak, Michael. Calculus. 4th ed. Boston, MA: Publish or Perish, 2008.
5. Courant, Richard, and Herbert Robbins. What Is Mathematics? 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 1996.
10 Preguntas para ejercicio educativo sobre derivadas
1. ¿Qué es una derivada?
2. ¿Cómo se calcula la derivada de una función polinomial?
3. ¿Qué representa la derivada de una función en un punto determinado?
4. ¿Cuál es la diferencia entre una función y su derivada?
5. ¿Qué es la regla de los cuatro pasos para calcular derivadas?
6. ¿Para qué se utilizan las derivadas en la vida real?
7. ¿Cómo se representa la derivada de una función?
8. ¿Qué es la notación prima y la notación de Leibniz para la derivada?
9. ¿Cómo se aplica la regla de los cuatro pasos para calcular la derivada de una función exponencial?
10. ¿Cómo se aplica la regla de los cuatro pasos para calcular la derivada de una función logarítmica?
Después de leer este artículo sobre derivadas, responde alguna de estas preguntas en los comentarios.
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